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　　一、視覺定位系統基礎矩陣的原理

　　介紹基礎矩陣我們先說一下對積幾和

　　對極幾何一定是對二幅圖像而言，對極幾何實際上是“兩幅圖像之間的對極幾何”，它是圖像平面與以基線為軸的平面束的交的幾何(這里的基線是指連接攝像機中心的直線)，以下圖為例：對極幾何描述的是左右兩幅圖像(點x和x’對應的圖像)與以CC’為軸的平面束的交的幾何!

 

　　直線CC’為基線，以該基線為軸存在一個平面束，該平面束與兩幅圖像平面相交，下圖給出了該平面束的直觀形象，可以看到，該平面束中不同平面與兩幅圖像相交于不同直線；

　　上圖中的灰色平面π，只是過基線的平面束中的一個平面(當然，該平面才是平面束中最重要的、也是我們要研究的平面);

　　epipolarpoints極點

　　每一個相機的透鏡中心是不同的，會投射到另一個相機像面的不同點上。這兩個像點用eL和eR表示，被稱為epipolarpoints極點。兩個極點eL、eR分別與透鏡中心OL、OR在空間中位于一條直線上。

　　epipolarplane極面

　　將X、OL和OR三點形成的面稱為epipolarplane極面。

　　epipolarline極線

　　直線OL-X被左相機看做一個點，因為它和透鏡中心位于一條線上。然而，從右相機看直線OL-X，則是像面上的一條線直線eR-XR，被稱為epipolarline極線。從另一個角度看，極面X-OL-OR與相機像面相交形成極線。

　　極線是3D空間中點X的位置函數，隨X變化，兩幅圖像會生成一組極線。直線OL-X通過透鏡中心OL，右像面中對應的極線必然通過極點eR。一幅圖像中的所有極線包含了該圖像的所有極點。實際上，任意一條包含極點的線都是由空間中某一點X推導出的一條極線。

　　如果兩個相機位置已知，則：

　　1.如果投影點XL已知，則極線eR-XR已知，點X必定投影到右像面極線上的XR處。這就意味著，在一個圖像中觀察到的每個點，在已知的極線上觀察到該點的其他圖像。這就是Epipolarconstraint極線約束：X在右像面上的投影XR必然被約束在eR-XR極線上。對于OL-XL上的X，X1，X2，X3都受該約束。極線約束可以用于測試兩點是否對應同一3D點。極線約束也可以用兩相機間的基本矩陣來描述。

　　2.如果XL和XR已知，他們的投影線已知。如果兩幅圖像上的點對應同一點X，則投影線必然交于X。這就意味著X可以用兩個像點的坐標計算得到。

　　二、視覺定位系統基礎矩陣

　　如果已知基礎矩陣F，以及一個3D點在一個像面上的像素坐標p，則可以求得在另一個像面上的像素坐標p‘。這個是基礎矩陣的作用，可以表征兩個相機的相對位置及相機內參數。

　　面具體介紹基礎矩陣與像素坐標p和p’的關系。

　　以O1為原點，光軸方向為z軸，另外兩個方向為x，y軸可以得到一個坐標系，在這個坐標系下，可以對P，p1(即圖中所標p)，p2(即圖中所標p‘)得到三維坐標，同理，對O2也可以得到一個三維坐標，這兩個坐標之間的轉換矩陣為[RT]，即通過旋轉R和平移T可以將O1坐標系下的點P1(x1，y1，z1)，轉換成O2坐標系下的P2(x2，y2，z2)。

　　則可知，P2=R(P1-T)(1)

　　采用簡單的立體幾何知識，可以知道

　　

 

　　其中，p，p‘分別為P點的像點在兩個坐標系下分別得到的坐標(非二維像素坐標)。Rp’為極面上一矢量，T為極面上一矢量，則兩矢量一叉乘為極面的法向量，這個法向量與極面上一矢量p一定是垂直的，所以上式一定成立。(這里采用轉置是因為p會表示為列向量的形式，此處需要為行向量)

　　采用一個常用的叉乘轉矩陣的方法，

　　

 

　　將我們的叉乘采用上面的轉換，會變成

　　

 

　　紅框中所標即為本征矩陣E，他描述了三維像點p和p‘之間的關系

　　

 

　　有了本征矩陣，我們的基礎矩陣也就容易推導了，

　　注意到將p和p‘換成P1和P2式(4)也是成立的，且有

　　q1=K1P1(6)

　　q2=K2P2(7)

　　上式中，K1K2為相機的校準矩陣，描述相機的內參數q1q2為相機的像素坐標代入式(4)中，得

　　

 

　　上式中p->q1，p‘->q2

　　這樣我們就得到了兩個相機上的像素坐標和基礎矩陣F之間的關系了

　　

 

　　二、不同圖像對的基礎矩陣

　　代碼

　　# coding: utf-8

　　# In[1]:

　　from PIL import Image

　　from numpy import *

　　from pylab import *

　　import numpy as np

　　# In[2]:

　　from PCV.geometry import homography, camera, sfm

　　from PCV.localdescriptors import sift

　　# In[5]:

　　# Read features

　　im1 = array(Image.open('im1.jpg'))

　　sift.process_image('im1.jpg', 'im1.sift')

　　im2 = array(Image.open('im2.jpg'))

　　sift.process_image('im2.jpg.', 'im2.sift')

　　# In[6]:

　　l1, d1 = sift.read_features_from_file('im1.sift')

　　l2, d2 = sift.read_features_from_file('im2.sift')

　　# In[7]:

　　matches = sift.match_twosided(d1, d2)

　　# In[8]:

　　ndx = matches.nonzero()[0]

　　x1 = homography.make_homog(l1[ndx, :2].T)

　　ndx2 = [int(matches[i]) for i in ndx]

　　x2 = homography.make_homog(l2[ndx2, :2].T)

　　d1n = d1[ndx]

　　d2n = d2[ndx2]

　　x1n = x1.copy()

　　x2n = x2.copy()

　　# In[9]:

　　figure(figsize=(16,16))

　　sift.plot_matches(im1, im2, l1, l2, matches, True)

　　show()

　　# In[10]:

　　#def F_from_ransac(x1, x2, model, maxiter=5000, match_threshold=1e-6):

　　def F_from_ransac(x1, x2, model, maxiter=5000, match_threshold=1e-6):

　　""" Robust estimation of a fundamental matrix F from point

　　correspondences using RANSAC (ransac.py from

　　/Cookbook/RANSAC).

　　input: x1, x2 (3*n arrays) points in hom. coordinates. """

　　from PCV.tools import ransac

　　data = np.vstack((x1, x2))

　　d = 10 # 20 is the original

　　# compute F and return with inlier index

　　F, ransac_data = ransac.ransac(data.T, model,

　　8, maxiter, match_threshold, d, return_all=True)

　　return F, ransac_data['inliers']

　　# In[11]:

　　# find F through RANSAC

　　model = sfm.RansacModel()

　　F, inliers = F_from_ransac(x1n, x2n, model, maxiter=5000, match_threshold=1e-3)

　　print(F)

　　# In[12]:

　　P1 = array([[1, 0, 0, 0], [0, 1, 0, 0], [0, 0, 1, 0]])

　　P2 = pute_P_from_fundamental(F)

　　# In[13]:

　　print(P2)

　　print(F)

　　# In[14]:

　　# P2, F (1e-4, d=20)

　　# [[ -1.e+00 1.e+01 5.e+02 4.e+03]

　　# [ 1.e+01 -9.e+01 -4.e+03 5.e+02]

　　# [ 2.e-02 3.e-03 -1.e+02 1.e+00]]

　　# [[ -1.e-07 4.e-06 -2.e-03]

　　# [ -1.e-06 6.e-07 2.e-02]

　　# [ 1.e-03 -2.e-02 1.e+00]]

　　# In[15]:

　　# triangulate inliers and remove points not in front of both cameras

　　X = sfm.triangulate(x1n[:, inliers], x2n[:, inliers], P1, P2)

　　# In[16]:

　　# plot the projection of X

　　cam1 = camera.Camera(P1)

　　cam2 = camera.Camera(P2)

　　x1p = cam1.project(X)

　　x2p = cam2.project(X)

　　# In[17]:

　　figure(figsize=(16, 16))

　　imj = sift.appendimages(im1, im2)

　　imj = vstack((imj, imj))

　　imshow(imj)

　　cols1 = im1.shape[1]

　　rows1 = im1.shape[0]

　　for i in range(len(x1p[0])):

　　if (0<= x1p[0][i]

　　plot([x1p[0][i], x2p[0][i]+cols1],[x1p[1][i], x2p[1][i]],'c')

　　axis('off')

　　show()

　　# In[18]:

　　d1p = d1n[inliers]

　　d2p = d2n[inliers]

　　# In[19]:

　　# Read features

　　im3 = array(Image.open('im3.jpg'))

　　sift.process_image('im3.jpg', 'im3.sift')

　　l3, d3 = sift.read_features_from_file('im3.sift')

　　# In[20]:

　　matches13 = sift.match_twosided(d1p, d3)

　　# In[21]:

　　ndx_13 = matches13.nonzero()[0]

　　x1_13 = homography.make_homog(x1p[:, ndx_13])

　　ndx2_13 = [int(matches13[i]) for i in ndx_13]

　　x3_13 = homography.make_homog(l3[ndx2_13, :2].T)

　　# In[22]:

　　figure(figsize=(16, 16))

　　imj = sift.appendimages(im1, im3)

　　imj = vstack((imj, imj))

　　imshow(imj)

　　cols1 = im1.shape[1]

　　rows1 = im1.shape[0]

　　for i in range(len(x1_13[0])):

　　if (0<= x1_13[0][i]

　　plot([x1_13[0][i], x3_13[0][i]+cols1],[x1_13[1][i], x3_13[1][i]],'c')

　　axis('off')

　　show()

　　# In[23]:

　　P3 = pute_P(x3_13, X[:, ndx_13])

　　# In[24]:

　　print(P3)

　　# In[25]:

　　print(P1)

　　print(P2)

　　print(P3)

　　# In[26]:

　　# Can't tell the camera position because there's no calibration matrix (K)

　　得到視覺對位系統基礎矩陣如下

　　

 

　　室外

　　

 

　　得到基礎矩陣如下